Cara Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Pangkat Tiga Dilengkapi Soal Penerapan

Materi perihal pangkat (eksponen) dan akar sudah diperkenalkan semenjak SMP, termasuk bagaimana cara merasionalkan bentuk bilangan pecahan dengan penyebut berbentuk akar. Namun sebagian besar referensi berguru yang dipakai di sekolah hanya sebatas merasionalkan bentuk akar kuadrat. Masih jarang buku yang membahas bagaimana cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga. Padahal, cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga sangat penting sebagai penunjang bahan lainnya, contohnya dalam menuntaskan limit fungsi aljabar yang memuat akar pangkat tiga tanpa menggunkan dalil L’Hopital.

Kita sudah diperkenalkan cara merasionalkan bentuk pecahan dengan penyebut akar kuadrat ialah dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya, contohnya $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ sanggup kita rasionalkan dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$ lantaran bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt{5}-2$ ialah $\displaystyle \sqrt{5}+2$. Lalu bagaimana cara merasionalkan bentuk ini $\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$?. Jika anda pikir cara merasionalkan bentuk tersebut ialah dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}$ maka anda keliru. Untuk sanggup menyelesaikannya mari kita pahami terlebih dahulu mengenai definisi dari bentuk akar sekawan berikut.

Informasi:
Tulisan pada laman ini memuat persamaan matematika yang cukup panjang dan tidak responsive pada media mobile, jikalau tampilan persamaan matematika di smartphone anda terpotong, silakan buka laman ini dalam mode landscape, Sangat disarankan membuka laman ini via PC/Laptop

Apa Definisi Dari Akar Sekawan?


Bersumber dari Ensiklopedia Matematika yang ditulis oleh ST. Nugroho dan B. Harahap, definisi dari akar sekawan ialah sebagai berikut:

Definisi Akar Sekawan
Dua bentuk akar dikatakan sekawan jikalau hasil kali kedua bilangan irasional (bentuk akar) ialah bilangan rasional


$\displaystyle\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawan dengan $\displaystyle\sqrt{a}-\sqrt{b}$ lantaran $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$


Perhatikan beberapa rujukan akar sekawan berikut:


$2-\sqrt{3}$ sekawan dengan $2+\sqrt{3}$ lantaran $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$


$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ sekawan dengan $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ lantaran $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$


$\sqrt{8}$ sekawan dengan$\sqrt{2}$, lantaran $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$



Bentuk Sekawan Akar Pangkat Tiga


Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$, sebab:

$\begin{align*}\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}&=a^{\frac{1}{3}}\times a^{\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{align*}$


Sekarang, bagaimana bentuk akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?

Bentuk akar sekawan dari bentuk di atas pastinya harus menyebabkan “muncul” pangkat tiga pada kedua suku bentuk akar di atas, bentuk aljabar sebagai landasan yang akan kita gunakan ialah sebagai berikut:

$\begin{align*}x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}$

Contoh, akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}$ ialah $\displaystyle\left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}+\left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ atau sanggup juga ditulis $\displaystyle\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$ sebab:

$\begin{align*}\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)&=\left(\sqrt[3]{5}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\\&=5-2\\&=3\end{align*}$


Berikut ini bentuk-bentuk akar sekawan akar pangkat tiga:



Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$


Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$


Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$


Bentuk sekawan dari $\displaystyle a-\sqrt[3]{b}$ ialah $\displaystyle a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$


 Bentuk sekawan dari $\displaystyle a+\sqrt[3]{b}$ ialah $\displaystyle a^2-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$


Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}-b$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2$


 Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}+b$ ialah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2$



Merasionalkan Penyebut Akar Pangkat Tiga


Setelah mengetahui bentuk sekawan akar pangkat tiga, kini kita akan memakai bentuk sekawan tersebut untuk merasionalkan penyebut akar pangkat tiga, perhatikan beberapa rujukan di bawah ini:

Contoh 1

Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}$ ialah ….

Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}$ ialah $\sqrt[3]{4}$
$\begin{align*}\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}&=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2\times 2}\\&=\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}\end{align*}$

Contoh 2

Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}$ ialah ….

Jawab:

Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}$ ialah $\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}$ maka:

$\begin{align*}\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{7-2}\\&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{5}\\&=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\end{align*}$

Contoh 3

Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}$ ialah ….

Jawab:

Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}+1$ ialah $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1$

$\begin{align*}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}&=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{2+1}\\&=\frac{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{1}{3}\left(2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\end{align*}$



Contoh Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Limit


Berikut ini rujukan soal limit yang melibatkan akar pangkat tiga,

$\displaystyle\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=$ ….

Jika kita substitusi eksklusif $x=8$, maka akan kita peroleh bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$, dengan demikin dibutuhkan manupulasi aljabar untuk menyelesaikannya dengan cara menghilangkan faktor komplotan pembilang dan penyebut yang menjadikan nilai $\displaystyle\frac{0}{0}$.

Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{x}-2$ ialah $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4$, dan $\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)=x-8$ maka:

$\begin{align*}\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}&=\lim_{x\to 8}\frac{(x-8)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8}\\&=\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\\&=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4\\&=4+4+4\\&=12\end{align*}$

Demikianlah cara merasionalkan penyebut akar pangkat tiga yang sanggup aku bahas. 
Semoga bermanfaat

Loading...
loading...
close